Change-Making Problem
Tags: change-making, knapsack
問題:給定一個容量 $V$ 的箱子以及 $N$ 種體積分別為 v[i] 的物品 i,每種物品都無限量供應,請問最少用幾個物品就能把箱子填滿?
解法:此乃 0/1 背包問題的變形,算法也和原本的模型非常相似。令子問題 dp$_i[v]$ 為當候選物品為 1 到 $i$ 的時候能湊成體積 $v$ 的最少物品數,那麼易知本題答案為 dp$_N[V]$。其遞迴式為 dp$_i[v] = \min\{$ dp$_{i-1}[v],$ dp$_i\big[v\ -$ v$[i]\big] + 1\ \}$,它的意思是說當我在體積 $v$ 的時候如果都不選物品 i,那這個 case 的物品數剛好就是只考慮物品 1 到 $i-1$ 的時候同體積的物品數;如果已經確定至少選了一個物品 i,那這個 case 的物品數剛好就是仍然考慮物品 1 到 $i$ 的時候排除一個物品 i 體積的物品數再加一;取這兩個 cases 其中比較小的物品數就是原本子問題的答案了。另外在更新一個完整回合的 dp 的時候和原本的背包問題一樣都有一個固定的順序,就是由於一個體積的更新會用到當下這個回合較小的體積,所以必須由小到大才能 in-place 更新,才能確保任意時刻 dp 的較小部分屬第 $i$ 回合,較大部分屬第 $i-1$ 回合而不相衝。最後記得一開始要 dp$_0[0]$ = 0 但 dp$_0[v] = \infty$ for $v\neq0$。
效能:空間複雜度 $\mathcal O(V)$、時間複雜度 $\mathcal O(NV)$。
附註:
[1] https://web.ntnu.edu.tw/~algo/KnapsackProblem.html#6
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